シェルフ【shelf】

棚。通常、フタや引き出しのないオープンタイプの収納家具のことを指します。ラック【rack】とほぼ同義語です。

キャビネット【cabinet】

飾り戸棚。扉の付いている収納家具です。中はシェルフのように固定式の棚や可動式の棚が取り付けられています。

チェスト【chest】

箪笥（タンス）。引き出しのついた収納家具で、洋服や生類などをしまうことを主な目的としています。

What’s the difference?

シェルフは棚。キャビネットは飾り戸棚。チェストは箪笥。このように、日本語にするとイメージが湧きやすいかもしれません。